Garch Médio Médio

GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Compare, compare e calcule abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (paramétrico condicional) Os métodos modernos colocam mais peso na informação recente. Ambos, EWMA e GARCH colocam mais peso em informações recentes. Além disso, como o EWMA é um caso especial do GARCH, tanto EWMA como GARCH empregam o alisamento exponencial. GARCH (p, q) e, em particular, GARCH (1, 1) O GARCH (p, q) é um modelo heterossegativo condicional autoregressivo geral. Os principais aspectos incluem: Autoregressivo (AR). A variância (ou a volatilidade) de amanhã8217s é uma função regredida da variância8282 da atual8217s regressa a si mesma Condicional (C). A variância da dependência8282d de 20008217s está condicionada em8212 a variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância de hoje8217 Heteroskedastic (H). As variâncias não são constantes, elas são ao longo do tempo GARCH regride em 8220lagged8221 ou termos históricos. Os termos atrasados ​​são variância ou retornos quadrados. O modelo genérico GARCH (p, q) regride em (p) retornos quadrados e (q) variações. Portanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 ou regride no último período 8217s ao quadrado retornado (ou seja, apenas 1 retorno) e variância do último período8217s (ou seja, apenas uma variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula GARCH (1, 1) pode ser dada com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional como uma função de três variáveis ​​(variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): a persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alpha-1 beta). Persistência refere-se a quão rápido (ou lentamente) a variância reverte ou 8220decays8221 em direção à sua média de longo prazo. A alta persistência equivale a uma decadência lenta e a uma redução lenta de 8220 para a baixa persistência média8221 equivale a uma rápida deterioração e uma rápida reversão da média para a média.8221 Uma persistência de 1.0 implica não reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221, onde uma menor persistência implica uma maior reversão da média. Dica: como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior do que zero, mas inferior a uma) implica reversão lenta na média. Mas se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado forem superiores a um, o modelo não é estacionário. Se (bc) for maior que 1 (se bc gt 1) o modelo não é estacionário e, de acordo com Hull, instável. Nesse caso, o EWMA é preferido. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é 8220compact8221 (ou seja, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucos melhoraram no original. A desvantagem do modelo GARCH é o seu sic de não-linearidade Por exemplo: Resolva a variância de longo prazo no GARCH (1,1) Considere a equação GARCH (1, 1) abaixo: suponha que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E note que omega é 0,2, mas erro don8217t omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama e da variância de longo prazo. Então, se alpha beta 0.9, então a gama deve ser 0.1. Dado que omega é 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): A diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que o GARCH inclui o termo adicional para reversão média e o EWMA não possui uma reversão média. Aqui é como obtemos de GARCH (1,1) para EWMA: então, deixamos um 0 e (bc) 1, de modo que a equação acima se simplifique: Isso agora é equivalente à fórmula para média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo a um (lambda alta) exibe decadência lenta. A abordagem RiskMetricsTM RiskMetrics é uma forma de marca da abordagem da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): a lambda ótima (teórica) varia de acordo com a classe de ativos, mas o parâmetro ideal geral usado pela RiskMetrics foi de 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decaimento para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diários e mensais são inconsistentes. No entanto, ambos são fáceis de usar, eles aproximam bastante bem o comportamento dos dados reais e são robustos à falta de especificação. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são cada um paramétrico e recursivo. EWMA Recursiva Vantagens e Desvantagens do MA (ou seja, STDEV) vs GARCH Resumo gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) Resumo Dicas: GARCH (1, 1) é RiskMetrics generalizado e, inversamente, RiskMetrics é Caso restrito de GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) 1. GARCH (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, devem somar para um: Dica: tenha cuidado com o primeiro termo no Equação GARCH (1, 1): omega () gamma () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado a variação, você precisará dividir o peso para calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade. Na prática, as taxas de variância tendem a ser reversas médias, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) ao modelo EWMA. Lembre-se, que a diferença é grande: o GARCH adiciona o parâmetro que pesa a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferido a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alpha beta gt 1). Nesse caso, o GARCH (1,1) é instável e o EWMA é preferido. Explique como as estimativas do GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base em uma janela de observação posterior, p. ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): característica de fantasma: os choques de volatilidade (aumento súbito) são incorporados abruptamente na métrica MA e então, quando a janela de fuga passa, eles são retirados abruptamente do cálculo. Devido a isso, a métrica MA mudará em relação ao comprimento da janela escolhida. A informação da tendência não está incorporada. As estimativas do GARCH melhoram essas fraquezas de duas maneiras: as observações mais recentes recebem pesos maiores. Isso supera o fantasma porque um choque de volatilidade impactará imediatamente a estimativa, mas sua influência desaparecerá gradualmente com o passar do tempo. Um termo é adicionado para incorporar reversão à média. Explicar como a persistência está relacionada à reversão da média. Dada a equação GARCH (1, 1): Persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. Uma persistência de 1.0 indica que não há reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica decadência rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos tanto à variância retardada quanto ao retorno quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Se a persistência de P e o peso de G atribuídos à variância de longo prazo, então PG 1. Portanto, se P (persistência) for alto, então G (reversão média) é baixa: a série persistente não é fortemente significativa ao reverter, exibe uma decadência de 8220s no final de 8221 em direção ao significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impassível significa fortemente reverter exibe 8220rapid decay8221 em direção à média. A variância média e incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explicar como EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos e identificar os fatores de deterioração diária e mensal RiskMetrics174. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído aos retornos quadrados é uma relação constante do peso anterior. Especificamente, lambda (l) é a razão entre os pesos vizinhos. Desta forma, dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for alta (por exemplo, 0,99), o desconto é muito gradual. Se lambda for baixa (por exemplo, 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de decaimento do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao medir o risco do portfólio, as correlações podem ser mais importantes do que a volatilidade individual do instrumento. Portanto, em relação ao risco de portfólio, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões de volatilidade individual. Use o GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variação futura esperada, em (t) períodos avançados, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno ao quadrado anterior (o retorno anterior era 4), o peso beta (0,7) foi atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância a longo prazo. Não é 0.00008 este termo é o produto da variância e seu peso. Uma vez que o peso deve ser de 0,2 (1 - 0.1 -0.7), a variância de longo prazo 0.0004. Segundo, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado a nós acima: agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variação futura esperada: Esta é a taxa de variância esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é 2. A projeção para frente de 10 dias 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão de volatilidade não paramétrica A abordagem EWMA tem um recurso atraente: requer relativamente poucos dados armazenados. Para atualizar nossa estimativa em qualquer ponto, precisamos apenas de uma estimativa prévia da taxa de variância e do valor de observação mais recente. Um objetivo secundário da EWMA é rastrear mudanças na volatilidade. Para valores pequenos, observações recentes afetam a estimativa prontamente. Para valores mais próximos de um, a estimativa muda lentamente com base nas mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido por JP Morgan e disponibilizado) usa o EWMA para atualizar a volatilidade diária. IMPORTANTE: a fórmula EWMA não assume um nível de variância médio de longo prazo. Assim, o conceito de volatilidade significa reversão não é capturado pelo EWMA. Os modelos ARCHGARCH são mais adequados para este fim. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar as mudanças na volatilidade, portanto, para valores pequenos, a observação recente afeta a estimativa prontamente e, para os valores mais próximos de uma, a estimativa muda lentamente para as mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido pela JP Morgan) e divulgado em 1994, usa o modelo EWMA para atualizar a estimativa diária de volatilidade. A empresa descobriu que, em uma variedade de variáveis ​​de mercado, esse valor dá uma previsão da variância que se aproxima da taxa de variância realizada. As taxas de variação realizadas em um determinado dia foram calculadas como uma média igualmente ponderada nos 25 dias subseqüentes. Da mesma forma, para calcular o valor ótimo de lambda para o nosso conjunto de dados, precisamos calcular a volatilidade realizada em cada ponto. Existem vários métodos, então escolha um. Em seguida, calcule a soma de erros quadrados (SSE) entre a estimativa EWMA e a volatilidade realizada. Finalmente, minimize o SSE variando o valor lambda. Soa simples é. O maior desafio é concordar com um algoritmo para calcular a volatilidade realizada. Por exemplo, as pessoas da RiskMetrics escolheram os 25 dias subseqüentes para calcular a taxa de variação realizada. No seu caso, você pode escolher um algoritmo que utilize preços diários, HILO e OPEN-CLOSE. Q 1: podemos usar o EWMA para estimar (ou prever) a volatilidade mais de um passo à frente A representação da volatilidade do EWMA não assume uma volatilidade média de longo prazo e, portanto, para qualquer horizonte de previsão além de um passo, o EWMA retorna uma constante Valor: o GARCH é um ajuste melhor para a modelagem de dados da série temporal quando os dados exibem a heterossexualidade, mas também o agrupamento de volatilidade. O modelo GARCH acomoda isso, bem como a curtose (picos de preços), e é particularmente útil na modelagem dos preços da eletricidade porque esses picos de preços são freqüentemente persistentes e são causados ​​por elementos fora do controle humano. O GARCH também é útil na previsão da covariância de retornos em dados de séries temporais financeiras. O GARCH substituiu essencialmente a Média de Movimento Ponderada Exponencialmente, que fornece uma medida da variância do termo atual em função de dois parâmetros: variação no período anterior e valor quadrado no período anterior. O GARCH adiciona um parâmetro adicional a este modelo - variância média de longo prazo - que permite rastrear a persistência da variância em torno da média. É um sentido, o GARCH é Bayesiano: ele rastreia variância média para todo o período com um peso decrescente voltado para trás da observação mais recente que nunca atinge 0. Essa abordagem ponderada favorece a recência, o que significa que a volatilidade em cluster é melhor acomodada para o GARCH. Os atrasos usados ​​pelo modelo são especificados como GARCH (p, q), onde p relaciona o número de atrasos autorregressivos impostos na equação e q relaciona o número de atrasos médios móveis. As curvas de preços de eletricidade são geralmente leptokurtic, ou quotpeakedquot, e exibem uma cauda longa. Este é um histograma dos preços do Nord Pool Spot de janeiro de 2008 a dezembro de 2009, você pode ver a amplitude da distribuição de preços e onde a distribuição é mais densa: os fins de semana nos mercados de eletricidade tendem a ser menos voláteis do que os dias úteis, na qual a maioria dos picos de preços ocorrer. Esta volatilidade, devido à força maior e outros elementos imprevisíveis que influenciam os preços da eletricidade, são difíceis de prever o dia-a-dia. Este é um gráfico do fim de semana versus os preços no local do dia de semana no Nord Pool Spot pelo mesmo período descrito acima: você verá que os balanços de preços durante a semana são muito mais extremos do que durante o fim de semana. You039ll também percebeu que a alta volatilidade tende a coibular - um único aumento de preço em um período de duas semanas é raro. Finalmente, os preços da eletricidade são altamente sazonais, e a gravidade de, digamos, o inverno é difícil de prever ano-a-ano. As estações frias tendem a apresentar maior volatilidade do que as estações quentes, e os picos de preços são mais severos e comuns nas estações frias. Este é um gráfico dos preços do Nord Pool Spot para o período de tempo mencionado acima, com temporadas quentes e frias demarcadas por cor: então podemos ver a partir dos dados que o cluster de picos de preços, a volatilidade é irregular na semana e de estação a estação , E os picos de preços podem ser mais graves ano-a-ano. Assim, temos alguns preditores de volatilidade (dias de semana mais voláteis do que fins de semana, estações frias mais voláteis do que as estações quentes), mas não podemos prever picos de preços e sabemos que os picos de preços geralmente acontecerão em rápida sucessão. A razão pela qual o modelo GARCH funciona bem na previsão da volatilidade dos preços da eletricidade é que ela tem memória de longo prazo, mas dá mais eventos aos eventos recentes, atendendo assim à natureza agrupada dos picos de preços. 15.8k Vistas middot View Upvotes middot Não é para reprodução Em um modelo AR (n) autoregressivo de baunilha, o valor atual do processo é uma soma ponderada dos valores n passados, juntamente com um termo aleatório. (O termo aleatório também pode ser chamado de ruído branco, termo quotérico, quot ou quotinovação, dependendo do campo) em que as ponderações são corrigidas e as inovações aleatórias são independentes e distribuídas de forma idêntica. Este modelo é homoscástico - as mudanças aleatórias em cada etapa do tempo provêm da mesma distribuição. (Homo mesmo skedastic relativo à dispersão.) Alguns fenômenos do mundo real parecem ser heterossejados em vez disso - eles parecem ter períodos voláteis seguidos por períodos de calma. A maneira mais fácil de fazer isso é simplesmente especificar (de forma determinista) qual será a distribuição específica em um determinado momento. Por exemplo, há muito mais incerteza no uso diurno de eletricidade do que no uso noturno de eletricidade, portanto, se formos modelar o uso de eletricidade em um momento específico, podemos assumir que o uso de eletricidade durante o dia teria uma matemática de variância em matemática específica. E que o uso durante a noite teria uma matemática de matemática de variância mais baixa. Este é um modelo ARCH - é um modelo AR com heterossexuais condicionais (condicional à hora atual). Por outro lado, talvez os balanços na volatilidade necessariamente aconteçam em momentos particulares - talvez os tempos em que ocorrem sejam estocásticos. Em vez de especificar exatamente qual será a variância em cada momento específico, podemos modelar a variância em si com um modelo AR (p). Este é um modelo GARCH (generalizado ARCH). Existem também várias generalizações do modelo GARCH - por exemplo, podemos tornar a volatilidade em determinado momento depender não apenas das volatilidades anteriores e de um termo aleatório, mas também do valor atual do processo principal. Isso concordaria com as crenças de algumas pessoas que os preços de ações invulgarmente altos ou baixos levam a uma volatilidade desproporcionalmente maior, por exemplo. Há uma lista muito longa aqui: 14.5k Vistas middot View Upvotes middot Não para reprodução Atualizado 28w atrás middot Upvoted por Manjari Narayan. Ph. D. Estatística de amplificação de engenharia elétrica, Universidade de arroz, teoricamente são as mesmas. Se mathxnmath é a série degradada, então um modelo GARCH representa as seguintes dinâmicas: math xn sigman epsilonnmath math sigman2 omega soma alfaj sigma 2 sum betaj x 2 matemática O último summand do lado direito é a dinâmica ARCH. Portanto, é óbvio que os modelos GARCH incluem processos ARCH como um caso especial de mathalphaj0math para todos os mathjmath. Mas os modelos ARCH também podem gerar a dinâmica do GARCH como um caso especial. Tome GARCH (1, 1) como exemplo: mathsigman2 omega alfa sigma2 beta x2 matemática mathsigma 2 omega alfa sigma2 beta x2 matemática mathsigman2math também pode ser escrito como: mathsigman2 omega alfa omega alfa2 sigma2 alpha beta x2 beta x2 matemática Repetido o procedimento acima, Para qualquer matemático inteiro inteiro que possamos escrever: mathsigman2 omega sum kalphaj alphak sigma2 beta soma k alfa x 2 matemática É óbvio que devemos ter matemática 1 milhão. Caso contrário, o modelo acima explode. Mas então, se for matemática, 1math. Nós temos, portanto, para o matemático suficientemente grande, o modelo GARCH acima é equivalente ao que obviamente é um modelo ARCH. Isso também é verdade para os modelos GARCH (p, q), ou seja, podemos alcançar a mesma dinâmica com um modelo ARCH. Em particular, um modelo ARCH com um número suficiente de termos, ou seja, uma ordem suficientemente alta, pode capturar o efeito de agrupamento de volatilidade. Então, teoricamente, os dois modelos são equivalentes. O que os torna diferentes é que, se quisermos representar a dinâmica do GARCH com um modelo ARCH, precisamos de muitos mais termos, o que torna as representações menos sucinto e a estimativa é muito mais difícil, e muitos problemas computacionais surgirão. Essa é a motivação por trás dos modelos GARCH que também é mencionado no parágrafo superior da página 3 no arquivo PDF com o qual você ligou: problemas computacionais podem surgir quando o polinômio apresenta uma ordem elevada. Para facilitar essa computação, Bollerslev (1986) propôs um modelo de Heterosqueticidade condicional auto-regressiva generalizada (GARCH). 5.2k Vistas middot View Upvotes middot Não para reprodução